Le calcul des poteaux en béton armé soumis à la flexion composée nécessite une attention particulière lorsque les effets du second ordre ne sont plus négligeables. L'Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), dans son article 5.8.6, autorise l'utilisation d'une méthode générale basée sur une analyse non linéaire géométrique et matérielle. En pratique francophone, cette approche rigoureuse est plus connue sous le nom de méthode de Faessel.
Cet article détaille les fondements théoriques, les équations d'équilibre fondamentales et l'algorithme de résolution nécessaire à la vérification réglementaire des poteaux élancés.
1. Contexte Réglementaire et Choix de la Méthode (EC2 Art. 5.8)
L'élancement λ d'un poteau détermine l'obligation ou non de prendre en compte les moments de second ordre. Selon l'Eurocode 2, les effets du second ordre peuvent être ignorés si l'élancement est inférieur à la limite réglementaire λlim :
λlim = (20 · A · B · C) / √n
Lorsque λ est supérieur à λlim, l'effet du second ordre (l'effet P-Delta) doit être intégré. L'EC2 propose trois voies :
- La méthode basée sur la rigidité nominale (Art. 5.8.7)
- La méthode basée sur la courbure nominale (Art. 5.8.8)
- La méthode générale (Art. 5.8.6), ou méthode de Faessel, qui s'affranchit des approximations des deux premières en simulant le comportement réel de la structure.
2. Principes Fontamentaux de la Méthode de Faessel
La méthode repose sur l'établissement des diagrammes Moment-Courbure (M - 1/r) d'une section droite en intégrant de manière exacte les lois de comportement non linéaires des matériaux (béton et acier).
Lois de Comportement des Matériaux (NF EN 1992-1-1)
- Pour le béton : Utilisation de la loi parabole-rectangle ou de la loi de Sargin (relation contrainte-déformation générique pour l'analyse structurale non linéaire) :
σc = fcd · [ 1 - (1 - εc / εc2)n ]
- Pour l'acier : Diagramme bilinéaire élasto-plastique parfait ou avec écrouissage, caractérisé par le module d'élasticité Es et la limite d'élasticité de calcul fyd.
3. Méthodologie du Calcul Étape par Étape
Le traitement de la méthode de Faessel se déroule sous forme d'un processus itératif visant à trouver une configuration d'équilibre sur la structure déformée.
Étape 1 : Détermination des Sollicitations du Premier Ordre
Il est procédé au calcul de l'effort normal de calcul NEd et du moment fléchissant du premier ordre M0Ed, en incluant l'effet des imperfections géométriques initiales (ei) :
M0Ed = MEd,app} + NEd · ei
Étape 2 : Établissement de la Relation Moment-Courbure
Pour un effort normal NEd constant, la courbure 1/r de la section varie en fonction du moment appliqué. Le plan de déformation est défini par le couple (εG, 1/r), où εG représente la déformation de la fibre de référence. L'intégration des contraintes sur la section fournit les efforts internes de résistance :
Nint = ∫ σc(ε) dAc + ∑ Asi · σs(εsi)
Mint = ∫ σc(ε) · z dAc + ∑ Asi · σs(εsi) · zi
La condition d'équilibre strict impose Nint = NEd. Cette condition permet de coupler de façon unique le moment interne Mint à la courbure 1/r.
Étape 3 : Calcul de la Déformée et Moment du Second Ordre
La courbure en chaque section le long de la hauteur libre du poteau l0 permet de calculer la flèche maximale à mi-hauteur f. En supposant une distribution sinusoïdale ou parabolique de la courbure, la flèche du second ordre est approchée par la relation de liaison cinématique :
f ≈ (1/r) · l02 / π2
Le moment total sollicitant du second ordre devient alors :
MTotal = M0Ed + NEd · f
Étape 4 : Processus Itératif et Critère de Convergence
Une boucle de calcul est initialisée :
- À l'itération k, une valeur de courbure (1/r)k est calculée à partir du moment de l'étape précédente.
- Une nouvelle flèche fk est déduite.
- Un nouveau moment sollicitant Mk+1 = M0Ed + NEd · fk est calculé.
Le processus converge lorsque la différence entre deux moments successifs devient inférieure ou égale à une tolérance fixée ε :
|Mk+1 - Mk| ≤ ε
Note de calcul importante : Si les itérations divergent, cela signifie que le poteau subit un phénomène d'instabilité par divergence de l'équilibre (flambement matériel). Il est alors obligatoire d'augmenter la section de béton ou le ratio d'armatures.
4. Avantages Technico-Économiques de l'Art. 5.8.6
L'application de la méthode de Faessel offre des gains de matière significatifs par rapport aux méthodes simplifiées (courbure nominale) souvent trop conservatives :
- Précision accrue : Prise en compte exacte du degré de fissuration du béton et du comportement plastique de l'acier.
- Économie d'acier : Réduction notable de la section d'armatures longitudinales requise dans les poteaux à forte excentricité ou à élancement modéré à élevé (l'élancement étant compris entre 30 et 50).
- Sécurité maîtrisée : Représentation fidèle de l'état limite ultime d'instabilité de la pièce.
5. Outil Pratique de Dimensionnement
L'implémentation de la méthode de Faessel nécessite l'exécution d'algorithmes numériques complexes et de boucles d'itérations qui ne peuvent être réalisés manuellement.
Pour automatiser cette procédure conformément à l'Eurocode 2, un outil de calcul a été développé.
Pour obtenir l'application automatisée, il est possible d'utiliser le lien ci-dessous :
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