Le dimensionnement des éléments comprimés en béton armé, en particulier les poteaux à section circulaire, représente un jalon critique dans l'ingénierie des structures. En raison de leur géométrie axisymétrique, ces éléments offrent une résistance uniforme dans toutes les directions radiales, mais leur comportement face au flambement et aux sollicitations du second ordre exige une modélisation mathématique et cinématique rigoureuse.
Cet article détaille les principes fondamentaux, les formulations analytiques et les critères de l’Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1) pour évaluer précisément le champ de contraintes et tracer la déformée d'un poteau circulaire.
1. Caractéristiques Géométriques et Mécaniques de la Section Circulaire
Avant tout calcul de sollicitation ou de déformée, la définition des propriétés intrinsèques de la section droite est requise. Pour un poteau de diamètre extérieur D (et de rayon R = D/2), renforcé par une section totale d'acier longitudinal As répartie de manière homogène sur un cercle de rayon rs :
- Aire brute de la section de béton (Ac) :
Ac = (π × D²) / 4 - Inertie de la section brute de béton (Ic) :
Ic = (π × D⁴) / 64 - Rayon de giration (i) :
i = √(Ic / Ac) = D / 4
L'élancement géométrique λ (lambda) du poteau de longueur libre l0 s'exprime alors par la relation classique :
λ = l0 / i = (4 × l0) / DSelon l'Eurocode 2, si cet élancement dépasse la valeur limite λlim, les effets du second ordre ne peuvent plus être négligés, rendant obligatoire l'évaluation de la déformée structurelle.
2. Évaluation du Champ de Contraintes (État Limite Ultime - ELU)
En présence d’une sollicitation combinée de flexion et de compression (flexion composée), induite par une charge excentrée ou par des imperfections géométriques initiales, le champ de contraintes dans la section varie de manière non-linéaire.
Modèle de comportement du béton
Pour l'analyse de la section, le diagramme parabole-rectangle ou le diagramme rectangulaire simplifié (hauteur de la zone comprimée réduite à λ × x = 0,8 × x) est appliqué. Dans une section circulaire, la zone comprimée forme un segment de cercle. Si l'on note x la hauteur de la zone comprimée à partir de la fibre la plus comprimée :
- L'angle d'ouverture de la zone comprimée θ (en radians) :
cos(θ / 2) = 1 - (x / R) - L'aire de la zone de béton comprimée (Acc) :
Acc = R² × [ (θ - sin θ) / 2 ] - Le centre de gravité de la zone comprimée par rapport au centre de la section (yc) :
yc = [ 4 × R × sin³(θ / 2) ] / [ 3 × (θ - sin θ) ]
La résultante de la compression du béton Fcd s’obtient par l’intégration du bloc de contraintes sur cette surface géométrique :
Fcd = η × fcd × Acc(Où fcd est la résistance de calcul du béton et η définit l'intensité du bloc).
Contribution des armatures longitudinales
Pour les armatures réparties circulairement, la contrainte σsi dans chaque barre dépend de sa position relative yi par rapport à l'axe neutre. L'hypothèse de Bernoulli (conservation des sections planes) permet de lier la déformation de l'acier εsi à celle du béton :
εsi = εcu3 × [ (x - (R - yi)) / x ]Les contraintes associées découlent directement du diagramme élasto-plastique de l'acier : σsi = Es × εsi ≤ fyd.
3. Modélisation de la Déformée et Effets du Second Ordre
Le calcul de la déformée finale w(x) le long de l'axe du poteau est indispensable pour déterminer le moment fléchissant total de calcul (MEd = M0Ed + M2), où M2 représente le moment du second ordre lié à l'effet P-Delta (P-Δ).
L'Eurocode 2 propose deux méthodes principales pour modéliser cette déformée de manière indirecte ou directe :
A. Méthode basée sur la courbure nominale
Cette approche estime la déformée maximale à mi-hauteur en postulant une distribution sinusoïdale ou parabolique de la courbure 1/r. La flèche maximale e2 (déformée) est modélisée par la formule :
e2 = (1/r) × (l0² / c)Pour une section constante, le coefficient de forme c est généralement pris égal à 10 (correspondant à une répartition parabolique de la courbure). La courbure nominale est calculée par : 1/r = Kr × Kφ × (1/r0).
B. Intégration directe de la déformée (Analyse non-linéaire)
Pour une précision accrue, une discrétisation du poteau en plusieurs tronçons est effectuée. Pour chaque section, la relation Moment-Courbure est résolue de façon itérative. La déformée globale est obtenue par double intégration numérique de la courbure le long de l'axe structural :
w(x) = ∬ (1/r(x)) dx²Cette méthodologie permet de capter rigoureusement la perte de rigidité progressive due à la fissuration du béton et à la plastification des matériaux sous forte charge.
Conclusion et Outil de Calcul
La maîtrise du champ de contraintes et de la trajectoire de la déformée sous charge critique est le garant de la sécurité des infrastructures supportées par des colonnes circulaires. La complexité géométrique des intégrations sur segment de cercle rend l'usage d'outils automatisés indispensable pour fiabiliser les calculs en bureau d'études.
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