Les passerelles piétonnes modernes, caractérisées par des élancements importants, des portées de plus en plus grandes et l'utilisation de matériaux légers (béton haute performance, acier, bois lamellé-collé), sont des structures particulièrement sensibles aux actions dynamiques. En particulier, la marche humaine et la course génèrent des forces périodiques susceptibles d'induire des résonances si les fréquences propres de la structure coïncident avec les fréquences d'excitation.
Maîtriser le calcul des modes propres et des fréquences de vibration est donc une étape incontournable pour garantir la sécurité et le confort des usagers, conformément aux exigences normatives (notamment l'Eurocode 1 et les guides spécifiques comme Sétra ou HiVoSS).
1. Principes fondamentaux de la dynamique des structures
L'analyse dynamique d'une passerelle piétonne repose sur la résolution de l'équation générale du mouvement pour un système non amorti à N degrés de liberté :
[M]{ü(t)} + [K]{u(t)} = {F(t)}
Où :
- [M] est la matrice de masse globale de la structure (incluant la masse propre et la masse additionnelle des équipements).
- [K] est la matrice de rigidité globale.
- {u(t)} est le vecteur des déplacements nodaux.
- {F(t)} est le vecteur des forces extérieures appliquées.
Le problème aux valeurs propres (Analyse modale libre)
Pour déterminer les fréquences propres et les modes propres (formes modales), on étudie le mouvement libre de la structure sans amortissement et sans chargement extérieur ({F(t)} = 0). En posant une solution harmonique sous la forme {u(t)} = {Φ_i} sin(ω_i t + φ_i), on obtient le problème aux valeurs propres généralisé :
([K] - ω_i² [M]) {Φ_i} = 0
La résolution de ce système implique l'annulation du déterminant caractéristique :
det([K] - ω_i² [M]) = 0
- ω_i représente la pulsation propre du mode i (en rad/s).
- {Φ_i} est le vecteur propre associé, représentant la déformée modale.
La fréquence propre f_i (en Hz) s'en déduit directement par la relation :
f_i = ω_i / (2π)
2. Méthodologie de calcul pas à pas
Étape 1 : Évaluation de la masse et de la rigidité
- Matrice de masse [M] : Elle comprend la masse volumique des matériaux multipliée par les sections géométriques, ainsi qu'une fraction de la charge d'exploitation (piétons) si exigé par l'analyse.
- Matrice de rigidité [K] : Elle dépend directement du module d'Young E des matériaux, des moments d'inertie de flexion (I_y, I_z), de l'inertie de torsion (J) et des conditions aux limites (appuis simples, encastrements, appuis élastiques).
Étape 2 : Classification des modes de vibration
Sur une passerelle piétonne, on distingue principalement trois familles de modes propres à analyser :
- Modes de flexion verticale : Généralement les plus critiques vis-à-vis du confort, car la circulation piétonne excite directement la direction verticale (fréquences usuelles comprises entre 1.2 Hz et 3.0 Hz).
- Modes de flexion horizontale (transversale) : Excités par la composante latérale de la marche (fréquences usuelles comprises entre 0.5 Hz et 1.2 Hz).
- Modes de torsion : Couplés souvent avec la flexion pour les tabliers dissymétriques ou de grande largeur.
3. Approche analytique simplifiée (Poutre équivalente)
Pour une passerelle isostatique de portée L, de masse linéique totale μ (exprimée en kg/m) et de rigidité à la flexion EI, la fréquence propre du i-ième mode de flexion verticale se calcule analytiquement par la formule de Navier-Rayleigh :
f_i = (i² π / (2 L²)) * sqrt(EI / μ)
Pour le mode fondamental (i = 1) :
f_1 = (π / (2 L²)) * sqrt(EI / μ)
Cette formule analytique offre une excellente estimation préliminaire lors de l'avant-projet, avant d'affiner les résultats par modélisation numérique.
4. Analyse par éléments finis (MEF)
Dans la pratique de l'ingénierie moderne, les structures complexes nécessitent un logiciel de calcul aux éléments finis (type Robot Structural Analysis, Sofistik, ANSYS ou SAP2000).
Bonnes pratiques de modélisation :
- Modélisation du tablier : Utilisation d'éléments poutres (1D) pour les passerelles élancées à section constante, ou d'éléments coques (2D) pour les passerelles larges, les dalles orthotropes ou les caissons métalliques afin de capturer fidèlement les effets de torsion et de gauchissement.
- Modélisation des appuis : Représentation rigoureuse de la rigidité réelle des piles, des culées et des appareils d'appui (élastomères frettés, potirons).
- Masses non structurelles : Intégration rigoureuse des gardes-corps, des équipements d'étanchéité et du revêtement de la chaussée dans la masse linéique ou surfacique.
5. Critères de confort et vérification normative
Une fois les fréquences propres f_i calculées, il convient de les comparer aux plages de fréquences d'excitation humaine pour éviter tout risque de résonance ou de verrouillage synchrone (lock-in) :
- Trafic vertical piéton : Plage critique entre 1.25 Hz et 2.3 Hz (fréquence de pas usuelle).
- Trafic vertical de coureurs : Plage critique entre 2.0 Hz et 3.5 Hz.
- Trafic horizontal (latéral) : Plage critique autour de 0.5 Hz à 1.0 Hz.
Si une fréquence propre se situe dans ces plages sensibles, le calcul dynamique doit se poursuivre par une analyse de la réponse forcée sous chargement stochastique ou déterministe de piétons, afin de vérifier que les accélérations maximales restent inférieures aux seuils de confort admissibles définis par les normes en vigueur (par exemple, 0.5 m/s² pour le confort vertical maximal en zone urbaine dense).
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