Le dimensionnement d'un poteau en béton armé soumis à la flexion composée est une tâche incontournable en ingénierie structurelle. Contrairement à la compression simple, la flexion composée combine un effort normal $N$ (de compression ou de traction) et un moment fléchissant $M$.
Dans le bâtiment, les poteaux des étages supérieurs ou les poteaux de rivage soumis au vent et aux charges excentrées se trouvent fréquemment dans cet état de sollicitation. Cet article détaille la méthodologie rigoureuse basée sur les règles du BAEL 91 (modifiées 99) pour mener à bien ce dimensionnement.
1. Définition et position du problème
Un poteau est en flexion composée lorsque la section transversale est soumise à :
- Un effort normal $N_u$ (à l'état limite ultime - ELU).
- Un moment fléchissant $M_u$ agissant dans un ou deux plans de symétrie.
On ramène généralement le problème à une compression (ou traction) centrée fictive en définissant l'excentricité de l'effort normal :
$$e = \frac{M_u}{N_u}$$
Selon la valeur de cette excentricité et le pourcentage d'armatures, la section peut être partiellement comprimée (SPV) ou totalement comprimée (STC).
2. Données d'entrée et hypothèses de calcul
Pour entamer le calcul, les éléments suivants doivent être connus :
- Géométrie initiale : Dimensions de la section transversale ($b$ et $h$), hauteur libre du poteau $l_0$, longueur de flambement $l_f$.
- Matériaux :
- Résistance caractéristique du béton à 28 jours : $f_{28}$ (par exemple, 25 MPa).
- Limite d'élasticité de l'acier : $f_e$ (grammage HA 500 MPa).
- Sollicitations à l'ELU : $N_u$ et $M_u$ (majorées des effets du second ordre si nécessaire).
3. Méthodologie de dimensionnement étape par étape
Étape 3.1 : Prise en compte des effets du second ordre (Flambement)
Le calcul des efforts doit intégrer les effets du second ordre liés au flambement si l'élancement géométrique $\lambda$ dépasse les limites réglementaires (généralement $\lambda \le 50$).
L'élancement se calcule ainsi :
$$\lambda = \frac{l_f}{i}$$
Où $i$ est le rayon de gyration de la section ($i = \sqrt{\frac{I}{B}}$).
Le moment corrigé $M_{u0}$ prend alors en compte l'excentricité additionnelle du second ordre liée aux déformations :
$$M_a = \frac{l_f^2}{10} \times \left(2 \epsilon_c + \epsilon_s\right) \times \text{termes correctifs}$$
Le moment total de calcul devient :
$$M_u = M_{u0} + M_a$$
Étape 3.2 : Détermination de la section d'acier théorique
Le calcul exact de la section d'armatures $A$ s'appuie sur les diagrammes d'interaction (diagrammes d'effort normal - moment fléchissant) ou par application directe des équations d'équilibre de la section sous l'hypothèse des déformations limites du béton (loi parabole-rectangle).
- Calcul de l'excentricité par rapport au centre de gravité de la section :
$$e_G = \frac{M_u}{N_u}$$
- Position du centre de pression : Déterminer si la section est entièrement comprimée ou partiellement tendue.
- Si la section est partiellement comprimée, l'équation d'équilibre des moments par rapport aux aciers tendus s'écrit :
- La résolution de cette équation polynomiale permet d'extraire la position de l'axe neutre $y$.
$$N_u \cdot d' = N_u \cdot e_1 + \sigma_bc \cdot b \cdot y \cdot (d - \frac{y}{2})$$
Étape 3.3 : Application des conditions minimales réglementaires (BAEL)
Les armatures longitudinales obtenues par le calcul doivent respecter les seuils minimaux et maximaux :
- Section minimale :
$$A_{min} = \max\left(4 \, \text{cm}^2 \text{ par mètre de périmètre}, \, 0.2\% \times B\right)$$
- Section maximale :
$$A_{max} = 5\% \times B$$ (en zone courante)
4. Vérification à l'État Limite de Service (ELS)
Si le calcul à l'ELU garantit la sécurité de la structure vis-à-vis de la ruine, le calcul à l'ELS (sous charges quasi-permanentes ou rares) permet de limiter l'ouverture des fissures et les contraintes excessives dans le béton :
- Limitation de la contrainte de compression du béton : $\sigma_{bc} \le 0.6 \, f_{28}$.
- Limitation de la contrainte des aciers pour éviter la fissuration préjudiciable ou très préjudiciable.
5. Conception des armatures transversales (Étriers et Epingles)
Le dimensionnement des armatures transversales (diamètre $t$ et espacement $S_t$) répond aux critères de résistance à l'effort tranchant et au flambement des barres longitudinales :
- Diamètre minimal : $\phi_t \ge \frac{\phi_L}{3}$
- Espacement maximal :
$$S_t \le \min(15 \cdot \phi_L, \, a + 10\text{ cm}, \, 40\text{ cm})$$
Où $\phi_L$ est le diamètre minimal des aciers longitudinaux et $a$ la plus petite dimension de la section du poteau.
Note technique : Veillez à bien vérifier les zones de recouvrement des armatures en pied de poteau, là où les concentrations de contraintes sont maximales.
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