Calcul de structure : comment déterminer les sollicitations de cisaillement et de traction dans une cage d'ascenseur en béton armé selon l'Eurocode 2 ?
En ingénierie des structures, la cage d’ascenseur en béton armé ne se limite pas à sa fonction de gaine technique. Elle joue très souvent le rôle de noyau de contreventement principal du bâtiment. Soumise à des chargements complexes — combinant le poids propre, les forces dynamiques de la machinerie, les effets du freinage d'urgence (parachute), les poussées de vent et les actions sismiques — sa justification aux états limites ultimes (ELU) exige une analyse rigoureuse.
Cet article détaille la méthodologie scientifique indispensable pour quantifier avec précision les efforts de cisaillement(efforts tranchants) et les efforts de traction au sein des voiles en béton de la cage, conformément aux directives de l'Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1).
1. Hypothèses générales de calcul et modélisation
Pour mener à bien le dimensionnement, la structure de la gaine est assimilée à une poutre-console verticale encastrée à sa base (généralement sur le radier ou les fondations profondes).
Hypothèses cinématiques et géométriques
- Hypothèse de Bernoulli : Les sections planes avant déformation restent planes après déformation. Cette hypothèse reste valable si le rapport hauteur totale / largeur de la cage est supérieur à 3.
- Comportement des matériaux : Le béton suit son diagramme parabole-rectangle réglementaire en compression, avec une résistance de calcul $f_{cd} = \alpha_{cc} \cdot f_{ck} / \gamma_c$. La résistance à la traction du béton ($f_{ctm}$) est négligée dans le calcul des armatures de l'ELU, mais elle intervient pour vérifier l'état de fissuration (ELS) et le non-enclenchement du cisaillement brut.
- Sections d'analyse : Les parois en béton armé agissent comme des voiles travaillant principalement en flexion composée et en cisaillement de torsion/flexion.
2. Inventaire des actions et combinaisons de charges (ELU)
Les sollicitations appliquées à la gaine proviennent de trois sources majeures :
Actions permanentes ($G$)
- Poids propre du béton armé de la cage ($\gamma_{g} = 25 \text{ kN/m}^3$).
- Poids propre de la dalle de machinerie (située en tête de gaine).
- Masse des équipements fixes (rails de guidage, portes palières, supports).
Actions variables ($Q$)
- Charge utile de la cabine et du contrepoids.
- Forces de freinage et de déclenchement du parachute ($F_{choc}$): Ces forces d'impact transmettent des charges verticales asymétriques intenses sur les rails, induisant des moments de torsion et des forces excentrées sur les parois.
- Charges climatiques : Actions du vent engendrant un moment de flexion global $M_w(z)$ et un effort tranchant global $V_w(z)$ le long de la hauteur.
Actions accidentelles ou sismiques ($A_e$)
- Sollicitations issues de l'analyse spectrale ou des forces latérales équivalentes dues au séisme.
Combinaisons fondamentales à l'ELU (NF EN 1990)
$$S_{d} = 1,35 \cdot G + 1,50 \cdot Q_{machinerie} + 1,50 \cdot \psi_0 \cdot Q_{vent}$$
$$S_{d, sisme} = G + Q_{quasi-permanente} \pm E_k$$
$$S_{d, sisme} = G + Q_{quasi-permanente} \pm E_k$$
3. Méthodologie de calcul des sollicitations
3.1. Détermination des contraintes de traction ($N_{Ed}$ et $\sigma_s$)
Le moment fléchissant global $M_{Ed}$ induit par le vent ou le séisme crée un couple de compression/traction dans les voiles d'extrémités. Pour une section de cage d'ascenseur soumise à un effort normal ultime $N_{Ed}$ (généralement de compression dû au poids propre) et un moment fléchissant $M_{Ed}$ :
- Calcul des propriétés géométriques de la section brute : Aire de la section béton ($A_c$) et moment d'inertie quadratique ($I_c$) par rapport à l'axe de flexion.
- Calcul des contraintes aux fibres extrêmes :
$$\sigma_{sup, inf} = \frac{N_{Ed}}{A_c} \pm \frac{M_{Ed}}{I_c} \cdot v$$
Où $v$ est la distance de la fibre la plus éloignée de l'axe neutre. - Identification de la zone tendue : Si $\sigma > 0$ (en convention de traction), la section subit de la traction. L'effort total de traction $F_{td}$ appliqué à la paroi tendue se calcule en intégrant le diagramme des contraintes de traction ou par la méthode des moments par rapport aux armatures :
$$F_{td} = \frac{M_{Ed}}{z_b} - \frac{N_{Ed}}{2}$$
(où $z_b \approx 0,8 \cdot d$ est le bras de levier des forces internes).
3.2. Détermination des sollicitations de cisaillement ($V_{Ed}$ et $\tau_{Ed}$)
L'effort tranchant ultime à la base de la cage est noté $V_{Ed}$. Cet effort engendre une contrainte tangentielle de cisaillement dans les parois parallèles à l'action.
La contrainte de cisaillement de calcul $\tau_{Ed}$ s'exprime par :
$$\tau_{Ed} = \frac{V_{Ed}}{b_w \cdot d}$$
Où :
$$\tau_{Ed} = \frac{V_{Ed}}{b_w \cdot d}$$
Où :
- $b_w$ est l'épaisseur minimale de la paroi de la cage.
- $d$ est la hauteur utile de la section (distance entre la fibre comprimée extrême et le centre de gravité des armatures tendues, souvent prise égale à $0,8 \times$ la longueur totale du voile $L$ dans les calculs de voiles).
4. Modèles de vérification selon l'Eurocode 2
4.1. Résistance au cisaillement sans armatures d'effort tranchant ($V_{Rd,c}$)
Le béton seul possède une résistance intrinsèque au cisaillement. Selon l'Article 6.2.2 de l'Eurocode 2 :
$$V_{Rd,c} = \left[ C_{Rd,c} \cdot k \cdot \left( 100 \cdot \rho_l \cdot f_{ck} \right)^{1/3} + k_1 \cdot \sigma_{cp} \right] b_w \cdot d$$
Avec une valeur minimale imposée par le règlement ($v_{min} \cdot b_w \cdot d$). Si $V_{Ed} > V_{Rd,c}$, des armatures transversales (cadres, épingles) sont strictement obligatoires.
$$V_{Rd,c} = \left[ C_{Rd,c} \cdot k \cdot \left( 100 \cdot \rho_l \cdot f_{ck} \right)^{1/3} + k_1 \cdot \sigma_{cp} \right] b_w \cdot d$$
Avec une valeur minimale imposée par le règlement ($v_{min} \cdot b_w \cdot d$). Si $V_{Ed} > V_{Rd,c}$, des armatures transversales (cadres, épingles) sont strictement obligatoires.
4.2. Modèle de calcul au cisaillement avec armatures (Treillis de Mörsch)
L'Eurocode 2 utilise le modèle d'analogie de la ferme (bielles de béton comprimé inclinées à un angle $\theta$ et tirants d'acier inclinés à $\alpha$). Pour des armatures verticales/perpendiculaires à l'axe ($\alpha = 90^\circ$) :
- Vérification du claquage des bielles de béton ($V_{Rd,max}$) :
$$V_{Rd,max} = \frac{\alpha_{cw} \cdot b_w \cdot z \cdot \nu_1 \cdot f_{cd}}{\cot\theta + \tan\theta}$$ - Calcul des armatures de cisaillement ($V_{Rd,s}$) :
$$V_{Rd,s} = \frac{A_{sw}}{s} \cdot z \cdot f_{yd} \cdot \cot\theta$$
L'angle $\theta$ peut être choisi librement par l'ingénieur entre $21,8^\circ$ ($\cot\theta = 2,5$) et $45^\circ$($\cot\theta = 1$) pour optimiser les aciers.
5. Exemple pratique d'application et de calcul détaillé
Considérons une cage d'ascenseur en béton de section carrée extérieure $2,60 \text{ m} \times 2,60 \text{ m}$ avec des voiles d'épaisseur constante $b_w = 0,20 \text{ m}$. La longueur utile du voile dans la direction du séisme est $L = 2,60 \text{ m}$.
5.1. Données géométriques et matériaux
- Béton C30/37 : $f_{ck} = 30 \text{ MPa} \Rightarrow f_{cd} = 1,0 \times 30 / 1,5 = 20 \text{ MPa}$
- Acier B500B : $f_{yk} = 500 \text{ MPa} \Rightarrow f_{yd} = 500 / 1,15 = 434,78 \text{ MPa}$
- Épaisseur du voile $b_w = 200 \text{ mm}$
- Hauteur utile approchée $d = 0,8 \times L = 0,8 \times 2600 = 2080 \text{ mm}$
- Bras de levier interne $z = 0,9 \times d = 1872 \text{ mm}$
5.2. Sollicitations issues de la descente de charges à l'ELU (à la base)
- Effort normal de compression concomitante : $N_{Ed} = 1200 \text{ kN}$
- Moment fléchissant de contreventement : $M_{Ed} = 3200 \text{ kNm}$
- Effort tranchant ultime : $V_{Ed} = 650 \text{ kN}$
5.3. Calcul des aciers de traction (Flexion composée)
En première approximation via le modèle simplifié du bras de levier :
$$F_{td} = \frac{M_{Ed}}{z} - \frac{N_{Ed}}{2} = \frac{3200}{1,872} - \frac{1200}{2} = 1709,4 - 600 = 1109,4 \text{ kN}$$
$$F_{td} = \frac{M_{Ed}}{z} - \frac{N_{Ed}}{2} = \frac{3200}{1,872} - \frac{1200}{2} = 1709,4 - 600 = 1109,4 \text{ kN}$$
La section d'acier longitudinale nécessaire pour reprendre cet effort de traction est :
$$A_s = \frac{F_{td}}{f_{yd}} = \frac{1109,4 \times 10^3 \text{ N}}{434,78 \text{ MPa}} = 2551,6 \text{ mm}^2$$
Soit $25,52 \text{ cm}^2$ à répartir dans les poteaux d'angles ou les zones de rive du voile tendu (ex: 6 HA20 ou 9 HA16).
$$A_s = \frac{F_{td}}{f_{yd}} = \frac{1109,4 \times 10^3 \text{ N}}{434,78 \text{ MPa}} = 2551,6 \text{ mm}^2$$
Soit $25,52 \text{ cm}^2$ à répartir dans les poteaux d'angles ou les zones de rive du voile tendu (ex: 6 HA20 ou 9 HA16).
5.4. Calcul du cisaillement
Étape A : Vérification du non-claquage du béton ($V_{Rd,max}$)
On choisit un angle d'inclinaison des bielles optimal de $\theta = 21,8^\circ$ ($\cot\theta = 2,5 \ ; \ \tan\theta = 0,4$).
- Coefficient d'efficacité du béton fissuré : $\nu_1 = 0,6 \cdot \left(1 - \frac{f_{ck}}{250}\right) = 0,6 \cdot \left(1 - \frac{30}{250}\right) = 0,528$
- Coefficient d'influence de l'effort normal $\alpha_{cw} = 1$ (sécurité).
$$V_{Rd,max} = \frac{1 \times 200 \times 1872 \times 0,528 \times 20}{2,5 + 0,4} \times 10^{-3} = \frac{3953,28}{2,9} = 1363,2 \text{ kN}$$
On vérifie bien que $V_{Ed} = 650 \text{ kN} \le V_{Rd,max} = 1363,2 \text{ kN}$. Le béton ne risque pas l'écrasement local sous l'effet de la bielle de compression.
On vérifie bien que $V_{Ed} = 650 \text{ kN} \le V_{Rd,max} = 1363,2 \text{ kN}$. Le béton ne risque pas l'écrasement local sous l'effet de la bielle de compression.
Étape B : Calcul des armatures de cisaillement ($A_{sw}/s$)
En utilisant la formule réglementaire réorganisée :
$$\frac{A_{sw}}{s} = \frac{V_{Ed}}{z \cdot f_{yd} \cdot \cot\theta} = \frac{650 \times 10^3}{1872 \times 434,78 \times 2,5} = 0,319 \text{ mm}^2/\text{mm} = 3,19 \text{ cm}^2/\text{m}$$
$$\frac{A_{sw}}{s} = \frac{V_{Ed}}{z \cdot f_{yd} \cdot \cot\theta} = \frac{650 \times 10^3}{1872 \times 434,78 \times 2,5} = 0,319 \text{ mm}^2/\text{mm} = 3,19 \text{ cm}^2/\text{m}$$
Pour un voile à deux nappes d'armatures, la section par nappe et par mètre linéaire est de $1,60 \text{ cm}^2/\text{m}$. Un maillage horizontal de HA8 espacés tous les 20 cm ($A_s = 2,51 \text{ cm}^2/\text{m}$ par nappe) remplit largement cette exigence structurelle tout en respectant les dispositions constructives minimales d'armatures de peau.
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