En mécanique des structures et en génie civil, la conception des fondations superficielles fait face à un défi récurrent : la proximité immédiate de deux poteaux. Lorsque l'entraxe entre deux poteaux est trop faible, leurs bulbes de contraintes s'interpénètrent, et le chevauchement de deux semelles isolées devient inévitable.
La solution technique consiste à concevoir une semelle jumelée (ou semelle combinée). Ce guide technique détaillé présente les hypothèses fondamentales, la méthodologie de dimensionnement et un exemple pratique d'application numérique selon les règles de l'art (Eurocode 2 / règles BAEL).
1. Hypothèses générales et géométrie du système by
Le jumelage de deux poteaux sur une seule semelle répond généralement à une contrainte géométrique ou à une exigence de centrage des charges (par exemple, un joint de dilatation ou la proximité d'une limite de propriété).
Poteau 1 (N1) Poteau 2 (N2)
| b1 | | b2 |
|=========| |=========|
| | | | | |
| | | | | |
________|____v____|_______________|____v____|________
| |========= L1-2 =========| |
| | | <- Semelle Jumelée
|_____________________________________________________|
<------------------------- L ------------------------->
Paramètres géométriques et mécaniques de base :
- N₁, N₂ : Charges verticales appliquées respectivement par le Poteau 1 et le Poteau 2 (à l'État Limite Ultime ELU et à l'État Limite de Service ELS).
- M₁, M₂ : Moments fléchissants éventuels en pied de poteaux.
- L₁₋₂ : Entraxe (distance d'axe en axe) entre les deux poteaux.
- a₁, b₁ et a₂, b₂ : Dimensions de la section transversale des poteaux 1 et 2.
- L et B : Longueur et largeur de la semelle jumelée à déterminer.
- q_sol (ou σ_sol) : Portance admissible ou contrainte ultime du sol de fondation.
2. Méthodologie de dimensionnement (Étape par étape)
L'objectif ultime est d'obtenir un diagramme de contrainte uniforme sous la semelle afin d'éviter tout tassement différentiel ou basculement de la structure.
Étape 1 : Détermination de la résultante et de son point d'application
La charge totale verticale R transitant par la fondation s'exprime par :
R = N₁ + N₂
Pour éviter toute excentricité globale de la fondation, le centre de gravité (CDG) géométrique de la semelle doit coïncider parfaitement avec le point d'application de la résultante des charges R.
Appliquons le théorème de Varignon au centre du Poteau 1 pour localiser la position de la résultante (x_R) :
x_R = (N₂ × L₁₋₂) / (N₁ + N₂)
Où x_R est la distance séparant l'axe du Poteau 1 du centre de gravité de la future semelle.
Étape 2 : Prédimensionnement de la longueur (L) et de la largeur (B)
Si la semelle est totalement libre d'extension des deux côtés, sa longueur totale idéale L est centrée sur x_R. Les débords extérieurs sont alors ajustés. Par exemple, si la distance de x_R à la limite gauche est contrainte ou fixée à d_g, la longueur optimale est :
L = 2 × x_R (si l'axe 1 est au milieu du débord gauche)
De manière générale, pour que le CDG de la semelle soit sur x_R, la longueur L doit vérifier le positionnement par rapport aux limites d'encombrement.
Une fois L fixée, la largeur B est déduite à partir de la contrainte admissible du sol à l'ELS :
S_nécessaire = L × B ≥ R_ELS / σ_sol
B ≥ R_ELS / (L × σ_sol)
Étape 3 : Vérification des contraintes au sol
On s'assure qu'à l'ELU et à l'ELS, la contrainte maximale transmise au sol ne dépasse pas la capacité portante :
σ = R / (L × B) ≤ σ_sol
3. Justification structurelle et calcul du ferraillage
Une semelle jumelée se comporte mécaniquement comme une poutre inversée soumise à une charge uniformément répartie ascendante (la réaction du sol) et supportée par des appuis ponctuels (les poteaux).
3.1. Effort tranchant et Moment fléchissant
On trace les diagrammes des efforts tranchants V(x) et des moments fléchissants M(x) le long de la longueur L en considérant une charge linéaire équivalente p = R / L.
- En travée (entre les deux poteaux) : La semelle subit un moment négatif qui tend à tendre les fibres supérieures. Un ferraillage longitudinal supérieur est requis.
- En console (les débords extérieurs) : La réaction du sol soulève les extrémités. Les fibres inférieures sont tendues, nécessitant des aciers longitudinaux inférieurs.
3.2. Calcul des armatures longitudinales (sens L)
En zone de moment maximal M_max, la section d'acier A_s se calcule selon la théorie classique du béton armé à l'ELU :
A_s = M_max / (z × f_yd)
Avec z ≈ 0,9 × d (bras de levier) et f_yd = f_yk / γ_s (limite d'élasticité de calcul de l'acier).
3.3. Calcul des armatures transversales (sens B)
Sous chaque poteau, la charge se diffuse transversalement. On dimensionne des armatures de répartition ou des dispositions de "poutres transversales virtuelles" de largeur b_i + 2h sous chaque poteau pour reprendre les moments transversaux induits par le débord de la largeur B.
4. Exemple pratique d'application numérique
Données de l'énoncé :
- Poteau 1 : N_1, ELU = 800 kN ; section 30 × 30 cm
- Poteau 2 : N_2, ELU = 1200 kN ; section 30 × 30 cm
- Entraxe (L₁₋₂) : 2,50 m
- Contrainte ultime du sol (σ_sol, ELU) : 300 kPa (0,30 MPa)
- Matériaux : Béton f_ck = 25 MPa, Acier f_yk = 500 MPa
Résolution étape par étape :
1. Calcul de la résultante et positionnement
R_ELU = 800 + 1200 = 2000 kN = 2,0 MN
Position du point d'application par rapport à l'axe du Poteau 1 :
x_R = (1200 × 2,50) / (800 + 1200) = 3000 / 2000 = 1,50 m
Le centre de gravité des charges se situe à 1,50 m à droite du Poteau 1 (et donc à 1,00 m à gauche du Poteau 2).
2. Dimensionnement géométrique de la semelle (L et B)
Pour que le milieu de la semelle coïncide avec x_R, on choisit un débord identique de part et d'autre des poteaux si possible. Choisissons un débord initial de 0,50 m à l'extérieur du Poteau 1.
- Distance du bord gauche à l'axe du Poteau 1 = 0,50 m.
- Distance du bord gauche au CDG (x_R) = 0,50 + 1,50 = 2,00 m.
Pour que la semelle soit parfaitement centrée sur la résultante, sa longueur totale L doit être égale à :
L = 2 × 2,00 m = 4,00 m
Vérifions le débord obtenu au niveau du Poteau 2 : Bord droit = 4,00 - (0,50 + 2,50) = 1,00 m par rapport à l'axe du Poteau 2.
Calcul de la largeur B nécessaire à l'ELU :
S_min = R_ELU / σ_sol, ELU = 2,00 MN / 0,30 MPa = 6,67 m²
B = S_min / L = 6,67 / 4,00 = 1,67 m
On retient des dimensions arrondies de sécurité : L = 4,00 m et B = 1,70 m.
3. Modélisation de la poutre inversée
La charge répartie ultime du sol sous la semelle est :
p_ELU = R_ELU / L = 2000 / 4,00 = 500 kN/m
Calcul du moment maximal en travée (section d'effort tranchant nul). L'effort tranchant s'annule entre les deux poteaux à une distance x du bord gauche :
V(x) = p_ELU × x - N_1, ELU = 0 => 500 × x - 800 = 0 => x = 1,60 m
Le moment fléchissant maximal en travée (à x = 1,60 m du bord gauche) vaut :
M_max = (p_ELU × x²) / 2 - N_1, ELU × (x - 0,50)
M_max = (500 × (1,60)²) / 2 - 800 × (1,60 - 0,50)
M_max = 640 - 880 = -240 kN·m
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