Lignes d'influence pour pont à poutres en béton armé : Calcul des sollicitations maximales sous charges mobiles

Pour déterminer la position la plus défavorable de ces convois et calculer les enveloppes des sollicitations maximales ($M_{\max}$ et $V_{\max}$), l'outil théorique et pratique indispensable est la ligne d'influence.

1. Concepts fondamentaux et hypothèses de calcul

Définition de la ligne d'influence

La ligne d'influence d'une grandeur $S$ (qui peut être un moment fléchissant $M$, un effort tranchant $V$, ou une réaction d'appui $R$) associée à une section fixe $x_0$ d'une poutre est la courbe représentative de la variation de $S(x_0)$ lorsqu'une charge ponctuelle verticale unitaire $P = 1\text{ kN}$ se déplace de l'origine ($x = 0$) jusqu'à l'extrémité de l'ouvrage ($x = L$).

Hypothèses fondamentales

1. Comportement élastique linéaire : Le matériau (béton armé équivalent) respecte la loi de Hooke, garantissant la validité du principe de superposition.
2. Petites déformations : La géométrie de la structure sous charge ne varie pas de manière significative.
3. Poutre isostatique à section constante : Sauf mention contraire, les formules de base s'appliquent à une travée simple appuyée aux deux extrémités.

2. Méthodologie et théorèmes de référence

A. Théorème de Müller-Breslau

Le théorème de Müller-Breslau stipule que la ligne d'influence d'une sollicitation interne (ou réaction d'appui) est proportionnelle à la déformée virtuelle de la structure obtenue en libérant la liaison associée à cette sollicitation et en introduisant un déplacement relatif unitaire correspondant.

• Pour le moment fléchissant $M(x_0)$ : On introduit une rotule fictive en $x_0$ et on impose une rotation relative $\theta = 1\text{ rad}$. La forme de la déformée obtenue donne directement l'allure de la ligne d'influence.
• Pour l'effort tranchant $V(x_0)$ : On introduit un coulisseau transversal en $x_0$ et on impose un glissement relatif $\Delta = 1\text{ m}$.

B. Théorème de Barré (Recherche du moment absolu maximal)

Lorsqu'un convoi de charges ponctuelles $P_1, P_2, \dots, P_n$ traverse une travée isostatique, le moment fléchissant absolu sous l'une des charges $P_i$ est maximal lorsque la section d'étude sous cette charge $P_i$ et la résultante générale $R$ du convoi sont positionnées de façon symétrique par rapport au milieu de la travée.

3. Formulations mathématiques des lignes d'influence (Travée isostatique de portée $L$)

Considérons une section fixe $x_0 \in [0, L]$. La position de la charge unitaire mobile est notée $x$.

A. Ligne d'influence de l'effort tranchant $V(x_0)$

• Discontinuité en $x_0$ : $\Delta V = (1 - \frac{x_0}{L}) - (-\frac{x_0}{L}) = 1$
• Valeur minimale (négative) : $-\frac{x_0}{L}$
• Valeur maximale (positive) : $1 - \frac{x_0}{L}$

B. Ligne d'influence du moment fléchissant $M(x_0)$

• Ordonnée au sommet (en $x = x_0$) : $\eta_{\max}(x_0) = \frac{x_0 (L - x_0)}{L}$
• Pour la section à mi-portée ($x_0 = L/2$) : $\eta_{\max} = \frac{L}{4}$
• Aire totale sous la ligne d'influence du moment : $\mathcal{A} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot \eta_{\max} = \frac{x_0 (L - x_0)}{2}$

4. Prise en compte des charges réglementaires (Eurocode 1 - NF EN 1991-2)

Les modèles de charges de trafic routier (notamment le Modèle de Charge 1 - LM1) combinent deux systèmes :

1. Le Tandem $TS$ (Charges concentrées) : Deux essieux répétatifs de poids $Q_{ik} = 300\text{ kN}$ ou $200\text{ kN}$ espacés d'une distance fixe $d = 1{,}2\text{ m}$.
2. Le système $UDL$ (Charge répartie) : Une charge surfacique $q_{ik} = 9\text{ kN/m}^2$ (sur la voie 1) convertie en charge linéaire sur l'axe de la poutre.

Répartition transversale (Guyon-Massonnet / Courbon)

Avant d'appliquer la ligne d'influence longitudinale, les charges de chaussée sont multipliées par un coefficient de répartition transversale $\eta_T$ propre à la poutre la plus sollicitée :

$$P_{\text{poutre}} = \eta_T \cdot P_{\text{globale}}$$

5. Exemple pratique et calcul détaillé pas-à-pas

Données de l'ouvrage d'étude

Paramètre	Symbole	Valeur
Portée du pont	$L$	$20\text{ m}$
Section d'étude	$x_0$	$10\text{ m}$ (mi-portée)
Coefficient de répartition transversale	$\eta_T$	$0{,}35$ (poutre n°1)
Charges d'essieu réparties sur la poutre	$P_1, P_2$	$150\text{ kN}$ chacun ($d = 1{,}2\text{ m}$)
Charge répartie $UDL$ sur la poutre	$q$	$18\text{ kN/m}$

Étape 1 : Tracé et géométrie de la ligne d'influence à $x_0 = 10\text{ m}$

1. Ordonnée au sommet (à $x = 10\text{ m}$) :

$$\eta(10) = \frac{10 \cdot (20 - 10)}{20} = 5{,}0\text{ m}$$

2. Aire totale sous le triangle de la ligne d'influence :

$$\mathcal{A} = \frac{1}{2} \cdot 20\text{ m} \cdot 5{,}0\text{ m} = 50\text{ m}^2$$

Étape 2 : Positionnement critique du Tandem $TS$

Pour maximiser la contribution du Tandem, on place l'essieu $P_1$ directement sur l'ordonnée maximale $\eta(10)$.

• Position de l'essieu $P_1$ : $x_1 = 10\text{ m} \implies \eta_1 = 5{,}0\text{ m}$
• Position de l'essieu $P_2$ : $x_2 = 10 - 1{,}2 = 8{,}8\text{ m}$

Ordonnée $\eta_2$ par interpolation linéaire :

$$\eta_2 = \eta(8{,}8) = \frac{8{,}8 \cdot (20 - 10)}{20} = 4{,}4\text{ m}$$

Étape 3 : Calcul des moments fléchissants sollicitants

A. Moment dû au Tandem $TS$ :

$$M_{TS} = P_1 \cdot \eta_1 + P_2 \cdot \eta_2 = 150 \cdot 5{,}0 + 150 \cdot 4{,}4 = 750 + 660 = 1410\text{ kNm}$$

B. Moment dû à la charge répartie $UDL$ :

$$M_{UDL} = q \cdot \mathcal{A} = 18 \cdot 50 = 900\text{ kNm}$$

C. Moment maximal total sous charges mobiles ($M_{\max, \text{mobile}}$) :

Étape 4 : Calcul de l'effort tranchant maximal à l'appui ($x_0 = 0\text{ m}$)

Pour la section sur l'appui A ($x_0 = 0\text{ m}$) :

• Ordonnée maximale à l'origine : $\eta_V(0) = 1{,}0$
• Ordonnée au niveau du 2ème essieu ($x = 1{,}2\text{ m}$) : $\eta_V(1{,}2) = 1 - \frac{1{,}2}{20} = 0{,}94$
• Aire sous le triangle : $\mathcal{A}_V = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 1{,}0 = 10\text{ m}$

Sollicitations :

$$V_{TS} = 150 \cdot 1{,}0 + 150 \cdot 0{,}94 = 291\text{ kN}$$

$$V_{UDL} = 18 \cdot 10 = 180\text{ kN}$$

6. Simulateur interactif de Lignes d'Influence

7. Synthèse des bonnes pratiques pour l'ingénieur

1. Ne pas confondre Diagramme de Sollicitations et Ligne d'Influence : Le diagramme montre la sollicitation en chaque point sous charge fixe. La ligne d'influence suit l'évolution d'une sollicitation en un point fixe sous charge mobile.
2. Superposition des cas de charges : Combinez la charge permanente $G$, les équipements $P$, et l'enveloppe de la ligne d'influence sous charges mobiles $Q$.
3. Vérification aux ELU / ELS : Appliquez les coefficients de sécurité réglementaires ($\gamma_Q = 1{,}35$) pour le dimensionnement du ferraillage longitudinal et transversal.