Calcul de l'effort tranchant dans un pont à poutres en béton armé : Guide de dimensionnement des cadres et étriers selon l'Eurocode 2

Dans le domaine des infrastructures de transport, le pont à poutres en béton armé reste l'une des typologies les plus répandues pour les franchissements de portée modérée (15 à 30 mètres). Lors de la phase de conception structurale, si la flexion longitudinal dictée le dimensionnement des armatures longitudinales, c'est l'effort tranchant (\(V_{Ed}\)) qui gouverne la sécurité vis-à-vis de la rupture par cisaillement.

Une rupture par effort tranchant est fragile et soudaine, contrairement à une rupture par flexion qui est ductile. C'est pourquoi le dimensionnement rigoureux des armatures transversales (cadres, étriers et épingles) constitue une étape critique de l'ingénierie des structures.

Cet article technique détaille les hypothèses fondamentales, la méthodologie réglementaire conforme à l'Eurocode 2 (EN 1992-2 / EN 1992-1-1), ainsi que les formulations mathématiques requises pour mener à bien ce calcul.

1. Hypothèses fondamentales et Mécanisme d'action

Le comportement à l'effort tranchant d'une poutre principale de pont en béton armé fissuré est modélisé par l'analogie du treillis de Mörsch (ou méthode de la bielle inclinée).

Le modèle du treillis plastique

La poutre est assimilée à une poutre en treillis comprenant :

• Une membrure supérieure comprimée formée par la table de compression en béton (le hourdis du pont).
• Une membrure inférieure tendue constituée par les armatures longitudinales de flexion.
• Des bielles de compression inclinées formées par le béton situé entre les fissures diagonales.
• Des tirants tendus constitués par les armatures transversales (cadres et étriers).

L'angle d'inclinaison des bielles de béton par rapport à l'axe longitudinal de la poutre est noté \(\theta\). Selon l'Eurocode 2, cet angle peut être choisi par l'ingénieur dans les limites suivantes :

\[1,0 \le \cot\theta \le 2,5 \quad \text{ce qui correspond à} \quad 21,8^\circ \le \theta \le 45^\circ\]

2. Méthodologie de vérification selon l'Eurocode 2

La vérification à l'effort tranchant à l'État Limite Ultime (ELU) comprend trois grandes étapes :

Étape 1 : Vérification du non-écrasement des bielles de béton (\(V_{Rd,max}\))

Il faut s'assurer que le béton de l'âme de la poutre ne s'écrase pas sous l'effet de la compression diagonale. La résistance maximale \(V_{Rd,max}\) est donnée par :

\[V_{Rd,max} = \alpha_{cw} \cdot b_w \cdot z \cdot \nu_1 \cdot \frac{f_{cd}}{\cot\theta + \tan\theta}\]

Où :

• \(b_w\) est la largeur minimale de l'âme de la poutre.
• \(z\) est le bras de levier des forces internes, couramment estimé à \(z = 0,9 \cdot d\) (où \(d\) est la hauteur utile de la poutre).
• \(f_{cd}\) est la valeur de calcul de la résistance en compression du béton (\(f_{cd} = f_{ck} / \gamma_C\)).
• \(\nu_1\) est un coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l'effort tranchant : \(\nu_1 = 0,6 \cdot \left(1 - \frac{f_{ck}}{250}\right)\) (avec \(f_{ck}\) en MPa).
• \(\alpha_{cw}\) est un coefficient prenant en compte l'état de contrainte de la membrure (égal à 1,0 pour le béton armé non précontraint).

Si \(V_{Ed} > V_{Rd,max}\), la section de béton est insuffisante. Il faut augmenter la largeur de l'âme \(b_w\) ou la hauteur de la poutre.

Étape 2 : Détermination de la résistance des armatures transversales (\(V_{Rd,s}\))

Pour des armatures transversales verticales (\(\alpha = 90^\circ\)), l'effort tranchant repris par le calcul des armatures est donné par :

\[V_{Rd,s} = \frac{A_{sw}}{s} \cdot z \cdot f_{ywd} \cdot \cot\theta\]

Où :

• \(A_{sw}\) est la section plane de l'ensemble des brins d'un cours d'armatures transversales (ex: un cadre à 2 brins de diamètre \(\phi 10 \implies A_{sw} = 2 \times 78,54 \text{ mm}^2 = 157,08 \text{ mm}^2\)).
• \(s\) est l'espacement entre les cours d'armatures.
• \(f_{ywd}\) est la limite d'élasticité de calcul des armatures transversales (\(f_{ywd} = f_{yk} / \gamma_S\)).

Étape 3 : Calcul de la section d'acier par unité de longueur (\(A_{sw}/s\))

En posant le critère réglementaire \(V_{Ed} \le V_{Rd,s}\), on en déduit la section d'armatures requise :

\[\frac{A_{sw}}{s} \ge \frac{V_{Ed}}{z \cdot f_{ywd} \cdot \cot\theta}\]

Pour optimiser le coût de l'ouvrage, on choisit généralement la valeur maximale autorisée de \(\cot\theta = 2,5\) (\(\theta = 21,8^\circ\)), ce qui minimise la quantité d'armatures transversales requise (tout en veillant à ce que \(V_{Ed} \le V_{Rd,max}\) reste vérifié pour cette valeur de \(\theta\)).

3. Dispositions constructives obligatoires

Le dimensionnement ne se limite pas aux équations mathématiques ; l'Eurocode 2 impose des critères géométriques stricts pour garantir le comportement monolithique de la poutre principale :

1. Pourcentage minimal d'armatures transversales : \[\rho_w = \frac{A_{sw}}{s \cdot b_w \cdot \sin\alpha} \ge \rho_{w,min} = \frac{0,08 \cdot \sqrt{f_{ck}}}{f_{yk}}\]
2. Espacement longitudinal maximal (\(s_{max}\)) : \[s_{max} = 0,75 \cdot d \cdot (1 + \cot\alpha)\] Pour des étriers verticaux (\(\alpha = 90^\circ\)), \(s_{max} = 0,75 \cdot d\). En zone d'appui des ponts, cet espacement est souvent réduit à \(200\text{ mm}\) ou \(250\text{ mm}\) au maximum pour des raisons de couture des fissures de cisaillement.

4. Exemple pratique d'application numérique

Considérons la poutre principale intermédiaire d'un pont routier à travée unique.

Données géométriques et matérielles

• Effort tranchant de calcul à l'ELU (\(V_{Ed}\)) : \(650 \text{ kN} = 0,650 \text{ MN}\) (évalué à la section critique située à la distance \(d\) de la face de l'appui).
• Béton : \(f_{ck} = 35 \text{ MPa} \implies f_{cd} = 35 / 1,5 = 23,33 \text{ MPa}\).
• Acier d'armature (Classe B500B) : \(f_{yk} = 500 \text{ MPa} \implies f_{ywd} = 500 / 1,15 = 434,78 \text{ MPa}\).
• Dimensions de la poutre : Largeur de l'âme \(b_w = 0,40 \text{ m}\), Hauteur totale \(h = 1,40 \text{ m}\), Hauteur utile \(d = 1,25 \text{ m}\).
• Bras de levier interne : \(z = 0,9 \cdot d = 0,9 \times 1,25 = 1,125 \text{ m}\).
• Choix de l'inclinaison des bielles : On adopte \(\cot\theta = 2,5\) (\(\theta = 21,8^\circ\)).

Résolution étape par étape

1. Vérification de la bielle de compression du béton (\(V_{Rd,max}\))

• Coefficient \(\nu_1 = 0,6 \cdot \left(1 - \frac{35}{250}\right) = 0,6 \cdot 0,86 = 0,516\)
• Pour \(\cot\theta = 2,5 \implies \tan\theta = 1 / 2,5 = 0,4\)
• Calcul du dénominateur : \(\cot\theta + \tan\theta = 2,5 + 0,4 = 2,9\)
• \(V_{Rd,max} = 1,0 \times 0,40 \times 1,125 \times 0,516 \times \frac{23,33}{2,9} = 1,870 \text{ MN} = 1870 \text{ kN}\)

On vérifie que : \(V_{Ed} = 650 \text{ kN} \le V_{Rd,max} = 1870 \text{ kN}\). Le béton de l'âme est parfaitement dimensionné vis-à-vis de l'écrasement.

2. Calcul des armatures transversales nécessaires (\(A_{sw}/s\))

\[\frac{A_{sw}}{s} \ge \frac{0,650}{1,125 \times 434,78 \times 2,5} = 0,000531 \text{ m}^2/\text{m} = 5,31 \text{ cm}^2/\text{m}\]

3. Choix des cadres et de l'espacement

Si l'on choisit d'utiliser un cours d'armatures transversales composé d'un cadre et d'un étrier vertical à 4 brins au total en barres de \(\phi 10\) :

• Section d'un brin \(\phi 10 = 0,785 \text{ cm}^2\)
• \(A_{sw} = 4 \times 0,785 = 3,14 \text{ cm}^2\)

Calcul de l'espacement requis \(s\) :

\[s \le \frac{A_{sw}}{5,31} = \frac{3,14}{5,31} = 0,591 \text{ m} = 59,1 \text{ cm}\]

4. Vérification des limites réglementaires

• Espacement maximal : \(s_{max} = 0,75 \cdot d = 0,75 \times 125 = 93,75 \text{ cm}\).
• Pourcentage minimal : \[\rho_{w,min} = \frac{0,08 \cdot \sqrt{35}}{500} = 0,000947\] \[A_{sw,min}/s = \rho_{w,min} \cdot b_w = 0,000947 \times 40 = 0,0379 \text{ cm}^2/\text{cm} = 3,79 \text{ cm}^2/\text{m}\]